柯西不等式积分形式：高中数学拓展总结

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本期新编网小编将介绍柯西不等式的表述形式，如柯西不等式的复数形式、积分形式、一般形式等，还包括柯西不等式的推导证明、柯西不等式的推广及应用等。

一、不等式表述

柯西不等式有着众多的表述形式，例如：一般形式、复数形式、积分形式等。

一般形式

设是正整数且

$x_1,x_2,\ldots,x_n,y_1,y_2,\ldots,y_n\in\mathbb{R}$ ，则有：

$\left(\sum\limits_{i=1}^nx_i^2\right)\left(\sum\limits_{i=1}^ny_i^2\right)\ge\left(\sum\limits_{i=1}^nx_iy_i\right)^2$ ，当且仅当

$\frac{x_1}{y_1}=\frac{x_2}{y_2}=\ldots=\frac{x_n}{y_n}$ 时取到等号。

复数形式

设

$n\ge2$ 是正整数且

$z_1,z_2,\ldots,z_n,w_1,w_2,\ldots,w_n\in\mathbb{C}$ ，则有：

$\left(\sum\limits_{k=1}^n|z_k|^2\right)\left(\sum\limits_{k=1}^n|w_k|^2\right)\ge\left|\sum\limits_{i=1}^nz_k\overline{w_k}\right|^2$ .

积分形式

设

$f,g$ 是区间

$[a,b]$ 上的可积函数，则有：

$\left(\int_a^bf^2\!(x)\,\mathrm{d}x\right)\left(\int_a^bg^2\!(x)\,\mathrm{d}x\right)\ge\left(\int_a^bf(x)g(x)\,\mathrm{d}x\right)^2$ .

概率论形式

设

$X,Y$ 是两个随机变量，则有：

$\mathrm{E}(X^2)+\mathrm{E}(Y^2)\ge|\mathrm{E}(XY)|^2$ .

二、推导证明

这里给出一般形式的若干种证法：

证法一

记

$f_i(t)=\left(x_it+y_i\right)^2,1\le i\le n$ . 则关于

$t$ 的二次函数

$f(t)=\sum\limits_{i=1}^nf_i(t)\ge0$ . 因此，其判别式

$\Delta=4\left(\sum\limits_{i=1}^nx_iy_i\right)^2-4\left(\sum\limits_{i=1}^nx_i^2\right)\left(\sum\limits_{i=1}^ny_i^2\right)\le0$ . 化简后即为柯西不等式。

证法二

由拉格朗日恒等式,

$\left(\sum\limits_{i=1}^nx_i^2\right) \!\left(\sum\limits_{i=1}^ny_i^2\right)\!-\!\left(\sum\limits_{i=1}^nx_iy_i\right)^2=\sum\limits_{1\le ij\le n}(x_iy_j\!-\!x_jy_i)^2\!\ge\!0$ .[3]

证法三

由齐次性，可不妨设

$\sum\limits_{i=1}^nx_i^2=\sum\limits_{i=1}^ny_i^2=1$ , 则：

$\sum\limits_{i=1}^nx_iy_i\le\sum\limits_{i=1}^n\frac{x_i^2+y_i^2}{2}=1$ , 对该式平方后即可得到原不等式。

证法四

对

$n$ 归纳证明该不等式成立. 易知

$n=2$ 时不等式成立. 若

$n=k$ 时不等式成立，则

$n=k+1$ 时：

$\left(\sum\limits_{i=1}^{k+1}x_i^2\right)\left(\sum\limits_{i=1}^{k+1}y_i^2\right)\ge\left(\sqrt{\left(\sum\limits_{i=1}^kx_i^2\right)\left(\sum\limits_{i=1}^ky_i^2\right)}+x_{k+1}y_{k+1}\right)^2\ge\left(\sum\limits_{i=1}^{k+1}x_iy_i\right)^2$ 因此该不等式成立。